Extrema nicht-linearer Funktionen - Vertiefung der Wirtschaftsmathematik - Fernuni Hagen - Fernstudium4You

Zur Ermittlung aller kritischen Punkte einer nicht-linearen Funktion mehrerer Variabler müssen alle ersten partiellen Ableitungen der Funktion gebildet und gleich null gesetzt werden. Da wir als kritische Punkte die Punkte suchen, die alle ersten partiellen Ableitungen gemeinsam zu null werden lassen, sind die Gleichungen der ersten partiellen Ableitung nicht für sich, sondern gemeinsam als ein Gleichungssystem zu lösen. Zur Lösung des Gleichungssystems sollte das Einsetzverfahren angewandt werden, was wir uns anschauen wollen.

Die kritischen Punkte von Funktionen mehrerer Variabler können lokale/globale Extremstellen (Minima/Maxima) oder Sattelpunkte einer Funktion sein. Um zu überprüfen, ob es sich bei einem kritischen Punkt um ein Extremum oder Sattelpunkt handelt, sind alle zweiten partiellen Ableitungen der Funktion zu bestimmen und als Hesse-Matrix anzugeben. Werden die Werte des kritischen Punktes in die zweiten partiellen Ableitungen der Hesse-Matrix eingesetzt und die Funktionswerte ermittelt, so lässt sich mittels der Definitheit der Hesse-Matrix das Extremum oder der Sattelpunkt bestimmen.

Um das nicht-lineare Optimierungsmodell aufstellen zu können, bedarf es der Ermittlung der Zielfunktion. Nach Bestimmung der Zielfunktion gilt es die Nebenbedingung aufzustellen und in Nullform zu bringen. Mit der Zielfunktion und der Nebenbedingung in Nullform kann das nicht-lineare Optimierungsproblem aufgestellt werden, was wir uns anschauen wollen.

Zur Anwendung des Lagrange-Verfahrens ist zuerst die Lagrange-Funktion aufzustellen. Dann erfolgt das partielle Ableiten und Nullsetzen der Lagrange-Funktion nach allen Variablen, womit man zur Bedingung erster Ordnung gelangt. Die Variablen der partiellen Ableitungen sind als gemeinsames Gleichungssystem mit dem Einsetzverfahren, Ausklammern oder anderen Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen zu lösen. Dann erfolgt die Prüfung auf ein Minimum bzw. Maximum und die Berechnung des optimalen Zielfunktionswertes.