Lineare Optimierung - Vertiefung der Wirtschaftsmathematik - Fernuni Hagen - Fernstudium4You

Zur Aufstellung eines linearen Optimierungsmodells für ein Unternehmen, muss bekannt sein, welche Produkte das Unternehmen produziert, welche Ressourcen zur Produktion verbraucht werden und über welche Kapazitäten der Ressourcen das Unternehmen verfügt. Liegen diese Informationen in Textform, tabellarisch oder in sonstiger verständlicherweise vor, kann ein lineares Optimierungsmodell unter den Vorgaben des Unternehmens aufgestellt werden, was wir uns gemeinsam anschauen wollen.

Die Ecke einer Menge ist ein wichtiges Spezialelement, denn eine Ecke stellt einen Extrempunkt der Menge dar. x ist Ecke der Menge M, wenn x nicht als strenge Konvexkombination für zwei verschiedene Punkte aus M geschrieben werden kann. Die Ecken von Polyedern des R^n liegen nun genau dort, wo sich n oder mehr Hyperebenen der das Polyeder bildenden Halbräume schneiden, niemals weniger. Wir wollen uns mit der Definition von Ecken von Polyedern weiter grafisch auseinandersetzen.

Die graphische Bestimmung des Zulässigkeitsbereichs erfolgt mittels der Nebenbedingungen eines linearen Optimierungsmodells, wobei die Nichtnegativitätsbedingung das Koordinatensystem auf den positiven Bereich beschränkt. Um eine Nebenbedingung, die die Variablen x_1 und x_2 enthält, als Strecke in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können, müssen die beiden Werte bestimmt werden, die die Nebenbedingung für x_1 bzw. x_2 annimmt, wenn für x_2 bzw. x_1 der Wert 0 gilt, was wir uns gemeinsam anschauen wollen.

Zur allgemeinen Aufstellung eines Simplextableaus für ein lineares Optimierungsmodell gilt es zunächst die Zielfunktion als zusätzliche Nebenbedingung zu formulieren. Danach sind die echten Nebenbedingungen um ihre Schlupfvariablen zu ergänzen. Das angepasste lineare Optimierungsmodell gilt es dann in Matrix-Schreibweise zu notieren und die Matrix und einzelnen Vektoren in eine sogenannte Kreuzform einzusortieren. Wir wollen uns die einzelnen Schritte anschauen.

Das Ziel des Simplex-Verfahrens ist es, die optimale Lösung für das lineare Optimierungsmodell zu liefern. Um zu dieser optimalen Lösung zu gelangen, ist das Simplextableau des Simplex-Algorithmus durch Pivot-Schritte solange zu verändern, bis der Zielfunktionswert nicht mehr durch einen weiteren Pivot-Schritt erhöht werden kann. In diesem Fall stellt die zulässige Basislösung des Simplextableaus auch gleichzeitig die optimale Lösung für das lineare Optimierungsmodell dar, was wir uns anschauen wollen.